Kendall系数：衡量等级相关性的稳健指标

Kendall系数：衡量等级相关性的稳健指标

在统计学和机器学习中，衡量变量之间的相关性是一个基础而重要的任务。除了常见的Pearson相关系数，Kendall秩相关系数（Kendall’s rank correlation …

朗之万动力学：从物理基础到生成式AI的革命

朗之万动力学：从物理基础到生成式AI的革命

朗之万动力学（Langevin Dynamics）这一诞生于1908年的物理理论，如今已成为深度学习生成模型的核心引擎，推动着AI在图像、语音和科学模拟领域的突破。

朗之万动力学的定义与物理背 …

深入理解高斯分布：从基础到应用

[[高斯分布2]]

深入理解高斯分布：从基础到应用

在概率统计的领域中，高斯分布（Gaussian Distribution）犹如一颗璀璨的明珠，散发着独特的魅力。它又被称为正态分布（Normal Distribution），凭借其优美的数 …

高斯分布2

以下是文章的大纲：

1. 引言：无处不在的钟形曲线

   • 介绍高斯分布的基本概念与历史背景
   • 使用生活中的实例说明其普遍性

2. 数学定义与形式化表达

   • 一维与多维高斯分布的数学公式
   • 参数解析（均值、方差/协方差矩阵）

3. 核心特性与数学推导 …

微积分知识总结

微分公式

微分是高等数学中研究函数变化率的核心工具。

1. 基本求导公式

概率论中的符号，竖线和逗号的区别

在概率表示中，竖线（|）和逗号（,）有明确的区别，不能互换使用。两者的核心差异在于语义和优先级，具体如下：

1️⃣ 基本定义与核心区别

• 逗号 ,
  表示联合概率（Joint Probability），即多个事件同时发生的概率： …

向量的各种积

在数学和机器学习中，向量之间的运算有多种形式，主要包括内积（点积）、外积（叉积）、哈达玛积（逐元素积）、张量积（Kronecker积） 等。以下是它们的定义、写法、几何意义和使用场景。

1. 内积（Dot Product / Inner …

复数运算知识

复数运算知识

复数的定义

复数是形如 $z = a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。$a$ 称为实部，$b$ 称为虚部。

复数的表示形式

代数形式

复数通常用代数形式表示 …

三角函数知识总结

三角函数速览

三角函数是数学中一类非常重要的函数，它们描述了直角三角形中角与边之间的关系，并被广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。

1. 六个基本三角函数

数学

数学

• 概率论
• 线性代数

常微分方程 (ODE)：从基础理论到最新应用的全面解析

常微分方程 (ODE)：从基础理论到最新应用的全面解析

一、引言

常微分方程 (Ordinary Differential Equation，简称 ODE) 是数学中一个重要的分支，它描述了未知函数如何随着一个独立变量变化的规律(25)。作 …

Jensen不等式：深度学习与优化理论的数学基石

Jensen不等式：深度学习与优化理论的数学基石

Jensen不等式是凸分析中的核心工具之一，由丹麦数学家Johan Jensen于1906年正式提出。这个看似简单的数学不等式，却在概率论、信息论、机器学习和优化领域展现出惊人的普适性。在深 …

argmax 数学符号详解

基本定义

argmax 是数学中广泛使用的运算符，表示使函数取得最大值时的自变量取值。其标准形式为：

$$ \underset{x}{\operatorname{arg,max}} f(x) $$

读作"the argument …

Pearson相关系数

#相关性

定义

Pearson相关系数（Pearson Correlation Coefficient），又称皮尔逊积矩相关系数，是衡量两个连续变量$X$和$Y$之间线性关系强度和方向的统计量，取值范围为$[-1, 1]$。其定义为： $$ …

几何平均数

几何平均数（Geometric Mean） 和 算术平均数（Arithmetic Mean） 是两种常用的统计方法，用于计算一组数值的平均值。它们适用于不同的场景，具有不同的性质和特点。

1. 算术平均数（Arithmetic Mean） …

基本概念

“变分”是一个在数学和计算机科学中非常重要的概念，特别是在优化、概率论和机器学习等领域。它通常涉及对某种函数或函数空间进行“变动”或“优化”的过程。变分的应用广泛，尤其是在推导和近似计算中。

基本概念

“变分”（Variational） …

对数运算

以下是关于对数运算规则的简明总结（以常用对数 \log 和自然对数 \ln 为例）：

​1. 基本定义​

• ​对数​：若 a^x = b（a>0 且 a \neq 1），则记作 x = \log_a b。
• ​自然对数​：底数为 e（ …

对称差集

对称差集（Symmetric Difference）

在集合运算中，对称差集（^ 运算符 或 set.symmetric_difference() 方法）指的是两个集合中，不同时存在的元素。换句话说，它返回在 A 或 B 中，但不在 A 和 …

小波变换：理论与应用全解析

形象易懂讲解算法I——小波变换 - 咚懂咚懂咚的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818

核心概念

小波变换（Wavelet Transform）是一种时频分析工具，通过将信号分解为一系列缩 …

排列组合

排列组合

统计学

无偏估计是统计学中的一个重要概念。简单来说，如果一个统计量的期望值等于所估计的母体参数，那么这个统计量就是该参数的无偏估计量。换句话说，无偏估计量在重复抽样时，其平均值会等于真正的母体参数值。

例子：假设你想估计某个群体的 …

泰勒展开

泰勒展开（Taylor Expansion）详解

1. 泰勒展开是什么？

泰勒展开（Taylor Expansion）是一种数学方法，它可以用多项式近似某个函数 f(x) 在某个点附近的行为。具体来说，如果一个函数 f(x) 在某点可微且具 …

独立同分布

独立同分布

定义

独立同分布（Independent and Identically Distributed，简称i.i.d.）是概率论与统计学中的核心概念，描述一组随机变量的两个基本特性：

1. 独立性：任意两个随机变量的取值互不影响
2. 同分布 …

调和平均数

调和平均数（Harmonic Mean） 是一种用于计算一组数值的平均值的统计方法，特别适用于处理比率或速率相关的数据。调和平均数强调的是数值的倒数关系，因此它对较小的值更为敏感。

调和平均数的定义

对于一组正数 $x_1, x_2, …

随机微分方程

随机微分方程（SDEs）：从金融建模到生成式AI的随机引擎

随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDEs）是描述受随机噪声影响的动态系统的核心数学工具。它融合了微分方程与随机过程理论，为金融、 …

鞋带公式

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定义

鞋带公式（Shoelace Formula），又称高斯面积公式或测量员公式，是一种计算简单多边形面积的数学方法。其名称来源于计算过程中坐标交叉相乘的排列方式，类 …

马氏距离

马氏距离

定义

马氏距离（Mahalanobis Distance）是由印度统计学家P. C. Mahalanobis在1936年提出的[[多元统计分析]]方法。它是一种基于数据分布特性的距离度量，能够有效考虑特征之间的相关性。数学上，给定 …

PAC学习理论

概述

Kullback-Leibler散度（简称KL散度或也称为相对熵（Relative Entropy））是信息论中衡量两个概率分布差异的重要工具。由Solomon Kullback和Richard Leibler于1951年提出，现已成 …

变分法：从最速降线到最优控制，开启泛函优化的奥秘之旅

什么是变分法？—— 不仅仅是求极值，更是寻找“最优函数”

我们都熟悉微积分中的求函数极值问题：给定一个函数$y=f(x)$，我们通过令其导数$f’(x)=0$来寻找极值点。这 …

常微分方程（ODE）：从数学基础到前沿应用的多维解析

常微分方程不仅是数学王冠上的明珠，更是打开物理世界、工程系统与智能算法的通用钥匙

核心定义与历史脉络

常微分方程（Ordinary Differential Equations, …

散度定理（Divergence Theorem）是向量分析中的核心定理，也被称为高斯定理（Gauss’s Theorem）、高斯-奥斯特罗格拉茨基公式（Gauss-Ostrogradsky Theorem）或格林公式（二维情形 …